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广西陆川县中学2018届高三下学期第二次质量检测数学(文)试卷(附答案)

广西陆川县中学 2018 年春季期高三第二次质量检测试卷 文科数学试题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

1.已知复数 (i 为虚数单位),则复数 在复平面内对应的点位于( )

A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限

2.若复数 z 满足 ?1? 2i? z ? 1? i ,则 z =

2 A. 5

3 B. 5

10 C. 5

D. 10
3.已知倾斜角为? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则 sin 2? 的值为

3 A. 5

4 B. 5

1 C. 5

?1 D. 5

4.函数

y

?

cos

2

? ??

x

?

? 4

? ??



A.周期为? 的奇函数

C.周期为 2? 的奇函数

B.周期为? 的偶函数 D.周期为 2? 的偶函数

5.设

a

?

20.1,

b

?

lg

5 2

,

c

?

log3

9 10

,则

a,b,c

的大小关系是

A.b>c>a

B.a>c>b

C.b>a>c

D.a>b>c

6.“m<0”是“函数 f ? x? ? m ? log2 x ? x ? 1? 存在零点”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体 的体积为

16 ? A. 3

11? B. 2

17 ? C. 3

35 ? D. 6

8.已知双曲线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

? 0) 的右焦点 F2 到渐近线的距离为

4,且在双曲

线 C 上到 F2 的距离为 2 的点有且仅有 1 个,则这个点到双曲线 C 的左焦点 F1 的距离为

()

A.2

B.4

C.6

D.8

9.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 1.5,则输入 k 的值应为( )

A.4. 5

B.6

C.7.5

D.9

10.在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 的长为 2, BC ? 2 6 ,则 AB ? AC ? ( )

A.1

B.2

C.-2

D.-1

11.设 F1、F2 是双曲线 C2

x2 a2

? y2 b2

? 1?a ? 0,b ? 0?
的左右焦点,P

是双曲线

C

右支上

一点,若 PF1 ? PF2 ? 6a, 且?PF1F2 ? 30 ,则双曲线 C 的渐近线方程是

A. 2x ? y ? 0

B. x ? 2 y ? 0

C. x ? 2 y ? 0 D. 2x ? y ? 0

12.已知函数

f

?x?

?

ax

?

a2

?

4?a

?

0, x ?

R ?,若p 2

?

q2

?

8,则

f f

?q? ? p?

的取值范围


? ? ??, 2 ? 3
A.
? ? 2 ? 3,2 ? 3
C.

? B. ??2 ? 3, ??
D. ??2 ? 3,2 ? 3??

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分;

?x ? y ?1? 0

13.设

x



y

满足约束条件

? ?

x

?

2

y

?

0

,则 z ? 2x ( 1 )y 的最大值为



??x ? 2 y ? 0

16

14. 已知数 列 {an} 的 前 n 项 和公式 为 Sn ? n2 , 若 bn ? 2an , 则数列 {bn} 的 前 n 项 和

Tn ?



15.已知 a ? 0 , b ? 0 , 3a ? b ? 2ab ,则 a ? b 的最小值为



16.若函数 f (x) ? m sin(x ? ? ) ? 2 sin x 在开区间 (0, 7? ) 内,既有最大值又有最小值,

4

6

则正实数 m 的取值范围为



三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考

题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共 60 分

17.(本小题满分 12 分)

已知等差数列?an ? 的公差 d>0,其前 n 项和为 Sn,且a2 ? a4 ? 8, a3 , a5 , a8 成等比数列.

(1)求数列?an ? 的通项公式;

? ? (2)令 bn

? 1 ,求数列 an an?1

bn

的前 n 项和Tn 。

18.(本小题满分 12 分)

如图,在几何体 ABCDE 中,DA ? 平面 EAB, EA ? AB ,CB∥

DA,F 为 DA 上的点,EA=DA=AB=2CB,M 是 EC 的中点,N 为 BE 的中点.

(1)若 AF=3FD,求证:FN∥平面 MBD; (2)若 EA=2,求三棱锥 M—ABC 的体积.

19. (本小题满分 12 分)某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看

2018 年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级 1500 名男生、1000 名女生中按分层抽

样的方式抽取 125 名学生进行问卷调查,情况如下表:

打算观看

不打算观看

女生

20

b

男生

c

25

(1)求出表中数据 b,c;

(2)判断是否有 99%的把握认为观看 2018 年足球世界杯比赛与性别有关;

(3)为了计算“从 10 人中选出 9 人参加比赛”的情况有多少种,我们可以发

现它与“从 10 人中选出 1 人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题:在

打算观看 2018 年足球世界杯比赛的同学中有 5 名男生、2 名女生来自高三(5)班,

从中推选 5 人接受校园电视台采访,请根据上述方法,求被推选出的 5 人中恰有四

名男生、一

名女生的

P(K2

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

概率.

≥k0)





K0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

K2 ?

n(ad ? bc)2

,

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20.

(本小题满分 12 分)

已知

F1,

F2

分别是椭圆

C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左、右

焦点,其中右焦点为抛物线 y2 ? 4x 的焦点,点 M (?1, 2 ) 在椭圆 C 上.
2

(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)设与坐标轴不垂直的直线 l

过 F2 与椭圆 C 交于 A、B 两

点,过点 M (?1, 2 ) 且平行直线 2

l

的直线交椭圆 C 于另一点 N,若

四边形 MNBA 为平行四边形,试问直线 l

是否存在?若存在,请求

出l

的斜率;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? a ln x, g(x) ? x2 (a ? R)
(1)令 h(x) ? f (x) ? g(x) ,试讨论 h(x) 的单调性;
(2)若对 ?x ?[2, ??),f (x) ? g(x)ex 恒成立,求 a 的取值范围.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,圆 的普通方程为 .在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标 系中,直线 的极坐标方程为 . (Ⅰ)写出圆 的参数方程和直线 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 与 轴和 轴的交点分别为 、 , 为圆 上的任意一点,求 的取值范围. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 , . (Ⅰ)若对于任意 , 都满足 ,求 的值; (Ⅱ)若存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.

文科数学试题答案

1-5: DCBAD 13. 4

6-10: A AADBC .
14. 2 (4n ?1) 3

11.A12.D
15. 2 ? 3

16. 2 ? m ? 3 ? 3

17.解:(1)因为 a2 ? a4 ? 8 ,? a3 ? 4 即 a1 ? 2d ? 4 ,① 因为 a3, a5 , a8 为等比数列,即 a52 ? a3a8
所以 ?a1 ? 4d ?2 ? ?a1 ? 2d ? ?a1 ? 7d ? ,化简得: a1 ? 2d ②

……2 分

联立①和②得: a1 ? 2 , d ? 1

……4 分

所以 an ? n ?1

……6 分

(2)因为 bn

?

an

1 ? an?1

?

1
?n ?1??n ?

2?

?

? ??

1? n ?1

1? n ? 2 ??

……8 分

所以 Tn

?

?? ????

1 2

?

1 3

?? ????

?

?? ????

1 3

?

1 4

?? ????

?

?? ????

1 4

?

1 5

?? ????

?L

?

?? ????

n

1 ?1

?

n

1 ?

2

?? ????

?

?? ????

1 2

?

1 3

? ??

?

? ??

1 3

?

1 4

? ??

?

? ??

1 4

?

1 5

? ??

?

L

?

? ??

1 n?

1

?

n

1 ?

2

?? ????

?

? ??

1 2

?

n

1 ?

2

? ??

?

n
2?n ?

2?

18.解: (I)证明:连接 MN ,因 M , N 分别是 EC , BE 的中点,

……12 分

? MN

//

CB



MN =

1 2

CB=

1 4

DA

,又

AF

?

3FD

,?

FD=

1 4

DA

,?

MN

=FD

又 CB//DA ,? MN//DA 即,? MN//FD ,?四边形 MNFD 为平行四边形,…3 分

? FN//MD 又 FN ? 平面 MBD , MD ? 平面 MBD

所以 FN // 平面 MBD .

……6 分

(Ⅱ)连接 AN,MN,则 AN ? BE, DA ? AN , MN / / DA ,所以 AN ? 平面EBC ,

又在 ?ABC 中, AN ? 2 ,

……8 分

S?MBC

?

1 2

?

1 ?2 2

2 ?1 ?

2 2

?

VM ? ABC

?

VA?MBC

=

1 3

AN ? S?MBC

?

1? 3

2? 2 ?1, 23

所以三棱锥 M ? ABC 的体积为 1 . 3

……12 分

19. 解:(1)根据分层抽样方法抽得女生 50 人,男生 75 人,所以 b=50-20=30(人),

c=75-25=50(人)

………………………………………………………………2 分

(2)因为 K 2 ?

125(20? 25 ? 30? 50)2

? 8.66 ? 6.635 ,所以有 99%

(20 ? 30)(50 ? 25)(20 ? 50)(30 ? 25)

的把握认为观看 2018 年足球世界杯比赛与性别有 关.…………………………………………7 分
(说明:数值代入公式 1 分,计算结果 3 分,判断 1 分) (3)设 5 名男生分别为 A、B、C、D、E,2 名女生分别为 a、b,由题意可知从 7 人 中选出 5 人接受电视台采访,相当于从 7 人中挑选 2 人不接受采访,其中一男一女,所 有可能的结果有 {A,B}{A,C}{A,D}{A,E}{A,a}{A,b}{B,C}{B,D}{B,E}{B,a}{B,b}{C,D}{C,E}{C,a} {C,b}{D,E}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b}{a,b},共 21 种,……………………………………9 分 其中恰为一男一女的包括, {A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b}, 共 10 种.…………………………………………………………………………………… 10 分 因此所求概率为
P ? 10 ……………………………………………………………………12 分 21 20. 解:(1)由 y2 ? 4x 的焦点为(1,0)可知椭圆 C 的焦点为 F1(?1, 0), F2 (1, 0) ……
1分

又点 M (?1, 2 ) 在椭圆上,得 2

?1 ????aa22

? ?

1 2b2 b2 ?

?1 c2

??c ? 1

??

解得

??a2 ???b2

=2 =1

,……………………………3



椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1…………………………………………………………4 分 2

(2)由题意可设直线 l 的方程为 y ? k(x ?1) , A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 由

? x2 ? ?2

?

y2

?1

得 (1?

2k 2 )x2

? 4k 2x

?

2k 2

?

2

?

0

,所以

?? y ? k(x ?1)

x1

?

x2

?

4k 2 1? 2k 2

,

x1x2

?

2k 2 ? 2 1? 2k 2

.…………6



所以|AB|=

1? k2

( x1

?

x2 )2

? 4x1x2

=

2

2(1? k 2 ) 1? 2k 2

.………………………………

7分

又可设直线 MN 的方程为 y ?

2 2

?

k(x ?1)

, M (x3,

y3 ), N (x4 ,

y4 )



? x2 ?? 2

?

y2

?1

得 (1? 2k 2 )x2 ? (4k 2 ? 2 2k)x ? (2k 2 ? 2 2k ?1) ? 0 ,因为

?

? ??

y

?

2 ? k(x ?1) 2

x3

?

?1 ,所以可得

x4

?

?

2k 2 ? 2 2k 1? 2k 2

?1



|MN|=

1? k 2 | x3 ? x4 | =

1? k 2 | 2 2k ? 2 | .…………9 分 1? 2k 2

因为四边形 MNBA 为平行四边形,所以|AB|=|MN|.



2

2(1? k 2 ) 1? 2k 2

?

1?

k2

|

2 2k ? 2 1? 2k2

|

,k

?

?

2 ,………………………………… 4

10 分

但是,直线 l

的方程 y ? ? 2 (x ?1),即x ? 2 2 y ?1 ? 0 过点 4

M (?1, 2 ) ,即 2
直线 AB 与直线 MN 重合,不合题意,所以直线
在.……………………12 分

l

不存

21. 解:(1)由 h(x) ? f (x) ? g(x) ? a ln x ? x2 得 h?(x) ? a ? 2x2 (x ? 0) …1 分 x

当 a ? 0 时, h?(x) ? 0 恒成立,则 h(x)在(0, ??) 单调递减;…………2 分

?2(x ? 2a )(x ? 2a )

当 a ? 0 时, h?(x) ?

2

2 ,令

x

h?(x) ? 0得x ? (0, 2a ), h(x)单调递增, 2

令 h?(x) ? 0得x ? ( 2a , ??), h(x)单调递减 . 2
综上:当 a ? 0 时, h(x)在(0, ??) 单调递减,无增区间;

当 a ? 0 时, h(x)在(0, 2a )上单调递增, 在( 2a , ??)上单调递减 ……5 分

2

2

(2)由条件可知 a ln x ? x2ex 对 ?x ?[2, ??) 恒成立,则

当 a ? 0 时, a ln x ? x2ex 对 ?x ?[2, ??) 恒成

立…………………………………………6 分

当a

?

0 时,由 a ln

x

?

x2ex 得 a

?

x2e

x
(x

?

2).令 ? ( x)

?

x2ex

(x

?

2) 则

ln x

ln x

? ?(x) ? xe x[(x ? 2) ln x ?1] ,因为 x ? 2 ,所以??(x) ? 0 ,即 (ln x)2

? ( x)在[2,+?)上单调递增

所以?(x) ? ?(2)= 4e2 ,从而可知 ln 2
0 ? a ? 4e2 .…………………………………………11 分 ln 2

综上所述: 所求
a ? 4e2 .…………………………………………………………………12 分 ln 2

22.解:(Ⅰ)圆

C

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

2 3

? ?

cos? sin ?

(?

为参数).

直线 l

的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 .

(Ⅱ)由直线 l

的方程 x ? y ? 2 ? 0 可得点 A(2, 0) ,点 B(0, 2) .

设点 P(x, y) ,则 PA? PB ? (2 ? x, ? y) ? (?x, 2 ? y) .

? x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 2x ? 4 y ?12 .

由(Ⅰ)知

? ? ?

x y

? ?

2 3

? ?

cos? sin ?

,则 PA? PB

?

4 sin ?

? 2 cos?

?

4

?

2

5 sin(? ? ?) ? 4 .

因为? ? R ,所以 4 ? 2 5 ? PA? PB ? 4 ? 2 5 .

23.解:(Ⅰ)因为 f (x) ? f (3 ? x) , x ? R ,所以 f (x) 的图象关于 x ? 3 对称. 2

又 f (x) ? 2 | x ? a | ?2a 的图象关于 x ? ? a 对称,所以 ? a ? 3 ,所以 a ? ?3 .

2

2

22

(Ⅱ) f (x) ? ? 2x ?1 ? a 等价于 2x ? a ? 2x ?1 ? a ? 0 .

设 g(x) ? 2x ? a ? 2x ?1 ? a ,

则 g(x)min ? (2x ? a) ? (2x ?1) ? a ? a ?1 ? a .

由题意 g(x)min ? 0 ,即 a ?1 ? a ? 0 .

当 a ? ?1 时, a ?1? a ? 0 , a ? ? 1 ,所以 ?1 ? a ? ? 1 ;

2

2

当 a ? ?1 时, ?(a ?1) ? a ? 0 , ?1 ? 0 ,所以 a ? ?1 ,

综上 a ? ? 1 . 2

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